חוברת לימוד תצוגה מקדימה (תצוגה מקדימה: חלקים 1 עד 2 מתוך 10) מאת: פניאל מרגליות

עקומות פרמטריות, וקטורי מהירות ועקמומיות

פונקציות וקטוריות, ישר משיק, אורך קשת, עקמומיות וטריאדר פרנה-סרה

משויך לקורסים: חדו״א 2 — הנדסת חשמל / אוניברסיטה חדו״א 2 — הנדסת מכונות / אוניברסיטה חדו״א 2 — הנדסה כימית / אוניברסיטה חדו״א 2 — הנדסת בניין / אוניברסיטה

עקומות פרמטריות, וקטורי מהירות ועקמומיות

פונקציות וקטוריות, ישר משיק, אורך קשת, עקמומיות וטריאדר פרנה-סרה

מטרות למידה מרכזיות:

1. פונקציות וקטוריות ועקומות במרחב

פונקציה וקטורית היא התאמה המקשרת בין משתנה סקלרי ממשי t לבין וקטור במרחב r(t) = (x(t), y(t), z(t)). כאשר t נע בקטע מסוים, קצה הווקטור מתווה מסלול חד-ממדי במרחב המכונה עקומה מרחבית פרמטרית. תחום ההגדרה של הפונקציה הווקטורית הוא חיתוך תחומי ההגדרה של שלוש הפונקציות הסקלריות המרכיבות אותה.

תרגיל 1

רמת קושי: בסיסי

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה הווקטורית r(t) = (ln(t + 2), sqrt(9 - t²), 1/(t - 1)).

פתרון מודרך

נדרוש שתחום ההגדרה יתקיים עבור כל אחד משלושת הרכיבים בו-זמנית:

1) t + 2 > 0 ⟹ t > - 2

2) 9 - t^{2} \geq 0 ⟹ - 3 \leq t \leq 3

3) t - 1 \neq 0 ⟹ t \neq 1

נבצע חיתוך בין התנאים: (-2, 3] ללא הנקודה t = 1, כלומר: (-2, 1) U (1, 3].

תחום ההגדרה של הפונקציה הווקטורית:

t \in (- 2, 1) \cup (1, 3]

2. גבולות ורציפות של פונקציות וקטוריות

גבול של פונקציה וקטורית מוגדר באמצעות גבולות רכיביה בנפרד: הגבול קיים אם ורק אם הגבול קיים עבור כל אחד משלושת הרכיבים.

{lim}_{t \to t_{0}} 𝐫 (t) = ({lim}_{t \to t_{0}} x (t), {lim}_{t \to t_{0}} y (t), {lim}_{t \to t_{0}} z (t))

תרגיל 2

רמת קושי: בסיסי

חשבו את הגבול כאשר t שואף ל-0 של הפונקציה הווקטורית r(t) = (sin(3t)/t, (e^(2t) - 1)/t, cos(5t)).

פתרון מודרך

נחשב את הגבול של כל רכיב בנפרד:

{lim}_{t \to 0} \frac{\sin (3 t)}{t} = 3 \cdot {lim}_{t \to 0} \frac{\sin (3 t)}{3 t} = 3

{lim}_{t \to 0} \frac{e^{2 t} - 1}{t} = [\frac{0}{0}, L'Hopital] = {lim}_{t \to 0} \frac{2 e^{2 t}}{1} = 2

{lim}_{t \to 0} \cos (5 t) = \cos (0) = 1

וקטור הגבול הוא (3, 2, 1).

גבול הפונקציה הווקטורית:

{lim}_{t \to 0} 𝐫 (t) = (3, 2, 1)

3. נגזרת, וקטור מהירות ווקטור תאוצה

הנגזרת r'(t) מייצגת את וקטור המהירות v(t). כיוונו משיק לעקומה בכיוון התנועה, וגודלו ||v(t)|| הוא המהירות הסקלרית (speed). הנגזרת השנייה r''(t) מייצגת את וקטור התאוצה a(t).

𝐯 (t) = 𝐫^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t), z^{'} (t))

𝐚 (t) = 𝐫^{″} (t) = (x^{″} (t), y^{″} (t), z^{″} (t))

🔒

המשך צפייה למנויי PnielAcademy

רכישת מנוי PnielAcademy התחבר לחשבון

עקומות פרמטריות, וקטורי מהירות ועקמומיות

המשך צפייה למנויי PnielAcademy

📚 תכנים נוספים בקורס זה

יסודות המרחב התלת-ממדי, וקטורים וגאומטריה אנליטית

פונקציות של מספר משתנים, גבולות, רציפות ונגזרות חלקיות

דיפרנציאביליות, מישור משיק, כלל השרשרת ווקטור הגרדיאנט

מעדיפים ליווי אישי לצד מערכת הלמידה?