שדות אלקטרוסטטיים בריק: חוק קולון, שדה חשמלי, חוק גאוס דיפרנציאלי ואינטגרלי ופוטנציאל V
פרק 2 — למידה מודרכת ותרגול מעמיק
שדות אלקטרוסטטיים בריק: חוק קולון, שדה חשמלי, חוק גאוס דיפרנציאלי ואינטגרלי ופוטנציאל V
פרק 2 — למידה מודרכת ותרגול מעמיק
בפרק הקודם פיתחנו את שפת האופרטורים הדיפרנציאליים והאינטגרליים ואת מערכות הקואורדינטות האורתוגונליות. כעת אנו רותמים ארגז כלים מתמטי זה אל עבר הפיזיקה של תופעות אלקטרומגנטיות ממשיות: תורת השדות האלקטרוסטטיים בריק. אלקטרוסטטיקה עוסקת במטענים חשמליים קבועים בזמן ובשדות הנוצרים על ידם במרחב הריק. נפתח בחוק קולון הוקטורי עבור מטענים נקודתיים ונרחיב אותו מיד אל התפלגויות מטען רציפות לאורך קווים, משטחים ונפחים באמצעות אינטגרציה ישירה. משם נתקדם אל אחת מגולות הכותרת של תורת השדות: חוק גאוס האינטגרלי והדיפרנציאלי (משוואת מקסוול הראשונה בריק), המאפשר לחשב שדות בעלי סימטריה גיאומטרית באלגנטיות יתרה ולקשור ישירות בין דיברגנץ השדה לצפיפות המטען המקומית. לבסוף נחקור את אופיו המשמר של השדה האלקטרוסטטי, נגדיר את הפוטנציאל הסקלרי ואת האנרגיה האלקטרוסטטית, ונראה כיצד גרדיאנט הפוטנציאל קובע במדויק את וקטור השדה החשמלי בכל נקודה ונקודה.
מטרות למידה מרכזיות:
- שליטה בניסוח הוקטורי של חוק קולון ובשימוש בווקטור המיקום היחסי במרחב
- חישוב שדה אלקטרוסטטי של התפלגויות מטען רציפות: תיל סופי ואינסופי, טבעת ודיסקה טעונה
- הבנת עקרון הסופרפוזיציה וביטול רכיבים וקטוריים משיקולי סימטריה
- חישוב שטף חשמלי ושימוש מושכל בחוק גאוס האינטגרלי בסימטריה כדורית, גלילית ומישורית
- הבנת חוק גאוס הדיפרנציאלי כמשוואת מקסוול הראשונה ומשמעות צפיפות המטען הנפחית
- הגדרת הפוטנציאל הסקלרי כאינטגרל מסלולי של השדה והבנת אופיו המשמר של השדה
- גזירת השדה החשמלי כמינוס גרדיאנט הפוטנציאל במערכות קואורדינטות שונות
- חישוב האנרגיה האלקטרוסטטית האגורה בהתפלגויות מטען ובשדות במרחב
חוק קולון ואינטגרלי שדה רציף בריק
בניתוח שדות אלקטרומגנטיים אנו מבחינים בקפדנות בין נקודת המקור שבה שוכן המטען לבין נקודת הצפייה שבה אנו מבקשים לחשב את השדה. וקטור ההפרש מנקודת המקור לנקודת הצפייה מגדיר את כיוון השדה ואת עוצמתו.
שדה חשמלי שיוצר מטען נקודתי בריק ניתן על ידי הביטוי הוקטורי המדויק:
כאשר אפסילון אפס מציין את המקדם הדיאלקטרי של הריק. הביטוי מדגים כי השדה דועך ביחס הפוך לריבוע המרחק ופונה לאורך הקו המחבר בין נקודת המקור לנקודת הצפייה.