חוק גאוס לשדה החשמלי וסימטריות כדורית, גלילית ומשטחית
חוק גאוס לשדה החשמלי וסימטריות כדורית, גלילית ומשטחית
פרק 2 — למידה מודרכת ותרגול מעמיק
בפרק הקודם למדנו לחשב שדות חשמליים באמצעות חוק קולון וסופרפוזיציה ישירה. ראינו כי עבור מספר בדיד של מטענים, או עבור תיל סופי פשוט, חישוב אינטגרלי ישיר הוא ישים — אך כאשר המערכת מורכבת מהתפלגויות מטען סימטריות במרחב, האינטגרציה הווקטורית הישירה נעשית מסורבלת ומייגעת ביותר. כאן נכנס לתמונה אחד הכלים העמוקים והאלגנטיים ביותר בכל הפיזיקה הקלאסית: חוק גאוס לשדה החשמלי. חוק גאוס איננו רק תחליף טכני לחישוב שדות, אלא חוק יסוד של הטבע הקושר בין גאומטריית השדה החשמלי לבין כמות המטען הכלואה בתוך משטח סגור. בחוברת זו נבנה צעד אחר צעד את מושג השטף החשמלי, נבין מדוע סימטריה מאפשרת לחלץ את השדה מתוך האינטגרל ללא מאמץ, ונשלוט בשלוש הסימטריות המרכזיות בהנדסה: כדורית, גלילית ומשטחית.
מטרות למידה מרכזיות:
- הבנת מושג השטף החשמלי כמכפלה סקלרית בין וקטור השדה לווקטור הנורמל למשטח
- ניסוח מדויק של חוק גאוס עבור משטח סגור וזיהוי המטען הכלוא בתוכו
- יישום חוק גאוס בסימטריה כדורית: מטענים נקודתיים, כדורים מבודדים טעונים וקליפות כדוריות
- גזירת חוק קולון ישירות מתוך חוק גאוס תוך שימוש בסימטריה רדיאלית
- יישום חוק גאוס בסימטריה גלילית: תיל אינסופי וגלילים טעונים קואקסיאליים
- יישום חוק גאוס בסימטריה משטחית: לוח אינסופי טעון ולוחות מקבילים בעלי מטענים מנוגדים
- הבנת התנהגות מוליכים בשיווי משקל אלקטרוסטטי: שדה אפס בתוך חומר מוליך ומטענים מושרים
- פתרון מערכות משולבות של קליפות מוליכות ומבודדות בכל תחומי המרחב
שטף חשמלי: משמעות פיזיקלית והגדרה מתמטית
כדי להבין את חוק גאוס, עלינו להכיר מושג גאומטרי מרכזי: שטף. באנלוגיה אינטואיטיבית לזרימת נוזל, שטף מייצג את כמות הנוזל החוצה שטח מסוים ביחידת זמן. ככל שמהירות הזרימה גדולה יותר, שטח המעבר רחב יותר והנוזל זורם בניצב לשטח, כך השטף גדול יותר.
באלקטרוסטטיקה שום חומר אינו זורם בפועל, אך אנו מגדירים באופן אנלוגי את השטף של קווי השדה החשמלי החוצים משטח נתון. השטף החשמלי הדיפרנציאלי דרך אלמנט שטח מוגדר כמכפלה סקלרית בין וקטור השדה החשמלי לבין וקטור השטח הדיפרנציאלי המכוון לאורך הנורמל:
כאשר הזווית היא הזווית שבין כיוון השדה החשמלי לבין וקטור הנורמל הניצב למשטח באותה נקודה.
כאשר המשטח הוא משטח סגור התוחם נפח במרחב (כגון כדור או גליל סגור), נקבעת מוסכמה מתמטית קבועה עבור כיוון הנורמל: וקטור הנורמל מוגדר תמיד כמצביע כלפי חוץ מתוך הנפח.
קווי שדה היוצאים מתוך הנפח החוצה יוצרים שטף חיובי, מכיוון שהזווית בינם לבין הנורמל החיצוני חדה. לעומת זאת, קווי שדה החודרים מן החוץ פנימה יוצרים שטף שלילי. השטף הכולל דרך משטח סגור מחושב באמצעות אינטגרל משטחי סגור: