חוברת לימוד תצוגה מקדימה (תצוגה מקדימה: חלקים 1 עד 2 מתוך 7) מאת: פניאל מרגליות

מד״ר לינאריות מסדר שני ומעלה

פרק 2 - למידה מודרכת ותרגול מעמיק

משויך לקורסים: משוואות דיפרנציאליות רגילות — הנדסת חשמל / אוניברסיטה משוואות דיפרנציאליות רגילות — הנדסת מכונות / אוניברסיטה משוואות דיפרנציאליות רגילות — הנדסה כימית / אוניברסיטה משוואות דיפרנציאליות רגילות — הנדסת בניין / אוניברסיטה

מד״ר לינאריות מסדר שני ומעלה

פרק 2 - למידה מודרכת ותרגול מעמיק

מטרות למידה מרכזיות:

1. משוואות הומוגניות במקדמים קבועים ומשוואת אוילר

רעיון מרכזי תנודות פיזיקליות והמשוואה האופיינית

תנועת מסה המחוברת לקפיץ, תנודות של גשר במעמס רוח, וזרמים במעגלי RLC נשלטים כולם על ידי החוק השני של ניוטון או חוקי קירכהוף. בכל המקרים הללו, התאוצה או קצב שינוי הזרם תלויים במיקום ובמהירות. קשר זה מוליד משוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר שני.

נחפש פתרון מהצורה y = e^{rx}. הצבה זו מובילה למשוואה אלגברית ריבועית הנקראת המשוואה האופיינית, ושורשיה קובעים האם המערכת תתנודד, תדעך בצורה חלקה או תגיע למצב קריטי.

a y^{″} + b y^{'} + c y = 0 ⟹ a r^{2} + b r + c = 0

רעיון מרכזי ורונסקיאן ואי-תלות לינארית של פתרונות

הפתרון הכללי של משוואה הומוגנית מסדר שני הוא צירוף לינארי של שני פתרונות בלתי תלויים. כדי לבדוק אי-תלות, נחשב את דטרמיננטת הוורונסקיאן. אם הוורונסקיאן שונה מאפס בנקודה כלשהי בתחום, הפתרונות מהווים מערכת יסודית מלאה.

W (y_{1}, y_{2}) (x) = | \begin{matrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} \end{matrix} | = y_{1} y_{2}^{'} - y_{1}^{'} y_{2} \neq 0

תרגיל 1

רמת קושי: בסיסי

מצאו את הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית הבאה:

y^{″} + 4 y^{'} + 13 y = 0

פתרון מודרך

שלב 1: נרשום את המשוואה האופיינית: r^2 + 4r + 13 = 0.

שלב 2: נחשב את הדיסקרימיננטה: Delta = 16 - 52 = -36.

שלב 3: נמצא את השורשים המרוכבים: r = (-4 +- 6i) / 2 = -2 +- 3i.

שלב 4: נזהה את החלק הממשי alpha = -2 והחלק המדומה beta = 3.

שלב 5: נרשום את הפתרון הכללי הממשי כשילוב של דעיכה מעריכית ותנודה סינוסואידלית.

פתרון כללי עם שורשים מרוכבים:

y (x) = e^{- 2 x} (C_{1} \cos (3 x) + C_{2} \sin (3 x))

תרגיל 4

רמת קושי: בסיסי

מצאו את הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית מסדר שני:

y^{″} - 2 y^{'} + 1 y = 0

פתרון מודרך

שלב 1: נמיר את פעולת הגזירה לכפל בחזקות של r לקבלת המשוואה האופיינית.

שלב 2: נבודד את שורשי המשוואה ונרשום את הבסיס למרחב הפתרונות.

שלב 3: נבנה את הצירוף הלינארי הכולל את כל הפתרונות האפשריים.

שלב 4: נוודא כי הפתרון מקיים את המשוואה המקורית לכל ערך של x.

פתרון משוואה הומוגנית עם שורש כפול 4:

y (x) = (C_{1} + C_{2} x) e^{1 x}

תרגיל 5

רמת קושי: בסיסי

פתרו את בעיית ההתחלה שלפניכם עבור משוואה עם מקדמים קבועים:

y^{″} - 4 y^{'} + 4 y = 0

פתרון מודרך

שלב 1: נרשום את המשוואה האופיינית המתאימה למשוואה הדיפרנציאלית.

שלב 2: נחשב את השורשים באמצעות נוסחת השורשים של משוואה ריבועית.

שלב 3: נזהה האם מדובר בשורשים ממשיים שונים, שורש כפול או שורשים מרוכבים.

שלב 4: נרכיב את הפתרון הכללי כצירוף לינארי של שני הפתרונות היסודיים.

פתרון משוואה הומוגנית עם שורש כפול 5:

y (x) = (C_{1} + C_{2} x) e^{2 x}

🔒

המשך צפייה למנויי LimoodAi

רכישת מנוי LimoodAi התחבר לחשבון

מד״ר לינאריות מסדר שני ומעלה

המשך צפייה למנויי LimoodAi

📚 תכנים נוספים בקורס זה

מד״ר מסדר ראשון ושיטות פתרון

התמרת לפלס ופתרון בעיות התחלה

פתרון בעזרת טורים ושיטת פרובניוס

מעדיפים ליווי אישי לצד מערכת הלמידה?