חוברת לימוד תצוגה מקדימה (תצוגה מקדימה: חלקים 1 עד 2 מתוך 9) מאת: פניאל מרגליות

התמרת פורייה וספקטרום תדרים

פרק 2 - למידה מודרכת ותרגול מעמיק

משויך לקורסים: מתמטיקה הנדסית — הנדסת חשמל / אוניברסיטה מתמטיקה הנדסית — הנדסת מכונות / אוניברסיטה מתמטיקה הנדסית — הנדסה כימית / אוניברסיטה מתמטיקה הנדסית — הנדסת בניין / אוניברסיטה

התמרת פורייה וספקטרום תדרים

פרק 2 - למידה מודרכת ותרגול מעמיק

בפרק זה נעמיק בלימוד התמרת פורייה וספקטרום תדרים, תוך פיתוח אינטואיציה פיזיקלית והנדסית לצד כלים חישוביים מתקדמים לפתרון בעיות מעשיות.

מטרות למידה מרכזיות:

1. מבוא, אינטואיציה ועקרונות יסוד: המעבר מטורים להטמרה רציפה

רעיון מרכזי מהות התמרת פורייה ומדוע היא עמוד התווך של ניתוח מערכות הנדסיות

כאשר אנו מנתחים אותות לא-מחזוריים – כגון פולס רדאר בודד, גל קול חולף, או תגובת הלם של מבנה מכני לרעידת אדמה – טורי פורייה אינם מספיקים, מכיוון שהאות אינו חוזר על עצמו. הרעיון המבריק של פורייה היה להשאיף את זמן המחזור לאינסוף PNIELMATHINLINE0 אינסוף). במעבר גבול זה, המרווח בין התדרים הבדידים שואף לאפס, והספקטרום הבדיד הופך לצפיפות ספקטרלית רציפה. התמרת פורייה מעבירה אות ממרחב הזמן למרחב התדר:

F (ω) = ℱ {f (t)} = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t, f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (ω) e^{i ω t} d ω

התמרה זו מהווה כלי אולטימטיבי בהנדסה משום שהיא ממירה פעולות מסובכות בזמן (כגון גזירה ואינטגרציה) לפעולות אלגבריות פשוטות בתדר (הכפלה ב- PNIELMATHINLINE0אומגה). מעבר לכך, פעולת הקונבולוציה בזמן – המתארת את תגובת כל מערכת לינארית קבועה בזמן PNIELMATHINLINE1 הופכת להכפלה ישירה של תגובת התדר PNIELMATHINLINE2אומגה) בספקטרום הכניסה PNIELMATHINLINE3אומגה).

בפרק זה נלמד לחשב התמרות של אותות יסוד, נשתמש בתכונות הזזה, שינוי קנה מידה וגזירה, נשלוט במשפט הקונבולוציה, וננתח את משפט פלנשרל לשימור אנרגיה ויחסי אי-ודאות זמן-תדר.

2. תכונות יסוד, התמרות קלאסיות וגאוסיינים

התמרת פולס מלבני מייצרת פונקציית PNIELMATHINLINE0, בעוד גאוסיאן במרחב הזמן מותמר לגאוסיאן במרחב התדר. נפתח תכונות לינאריות, דואליות והזזות.

תרגיל 1

רמת קושי: בסיסי

נתון הפולס המלבני הסימטרי PNIELMATHINLINE0 עבור PNIELMATHINLINE1 ו-0 עבור PNIELMATHINLINE2. חשבו את התמרת פורייה PNIELMATHINLINE3אומגה) והביעו אותה באמצעות פונקציית PNIELMATHINLINE4.

פתרון מודרך

שלב 1: הצבה בהגדרת ההתמרה:

F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t = \int_{- a}^{a} 1 \cdot e^{- i ω t} d t

שלב 2: אינטגרציה:

F (ω) = {[- \frac{e^{- i ω t}}{i ω}]}_{- a}^{a} = \frac{e^{i ω a} - e^{- i ω a}}{i ω} = \frac{2 \sin (a ω)}{ω}

שלב 3: כתיבה באמצעות פונקציית PNIELMATHINLINE0 מנורמלת הנדסית PNIELMATHINLINE1:

F (ω) = 2 a \frac{\sin (a ω)}{a ω} = 2 a sinc (a ω)

תשובה סופית:

F (ω) = \frac{2 \sin (a ω)}{ω} = 2 a sinc (a ω)

תרגיל 2

רמת קושי: בסיסי

עבור קבוע PNIELMATHINLINE0, מצאו את התמרת פורייה של PNIELMATHINLINE1כאשר PNIELMATHINLINE2 היא פונקציית מדרגת היביסייד), וחשבו את ספקטרום האמפליטודה PNIELMATHINLINE3אומגה PNIELMATHINLINE4 והפאזה PNIELMATHINLINE5אומגה)).

פתרון מודרך

שלב 1: חישוב ה PNIELMATHINLINE0 מ-0 עד אינסוף:

F (ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- a t} e^{- i ω t} d t = \int_{0}^{\infty} e^{- (a + i ω) t} d t = {[- \frac{e^{- (a + i ω) t}}{a + i ω}]}_{0}^{\infty}

מאחר ש- PNIELMATHINLINE0, הגבול באינסוף שואף לאפס, ומתקבל:

F (ω) = \frac{1}{a + i ω}

שלב 2: אמפליטודה ופאזה:

| F (ω) | = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + ω^{2}}}

\arg (F (ω)) = - \arctan (\frac{ω}{a})

תשובה סופית:

F (ω) = \frac{1}{a + i ω}, | F (ω) | = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + ω^{2}}}, \arg (F) = - \arctan (ω / a)

🔒

המשך צפייה למנויי PnielAcademy

רכישת מנוי PnielAcademy התחבר לחשבון

התמרת פורייה וספקטרום תדרים

המשך צפייה למנויי PnielAcademy

📚 תכנים נוספים בקורס זה

טורי פורייה ותופעת גיבס

התמרות לפלס מתקדמות ופונקציות מוכללות

פונקציות מיוחדות: גמא, בטא ובסל

מעדיפים ליווי אישי לצד מערכת הלמידה?